Ex: Spela kula


Förutsättningar
Två personer, A resp. B, spelar kula. Vid varje (oberoende) spelomgång satsar vardera parten vars en kula. Den som vinner omgången får båda kulorna. När en spelare har slut på kulor är spelet slut och den andre spelaren har vunnit. När spelet ska börja har A a (= 50) kulor och B har b (=5) kulor.

Problem 1: Antag att båda spelarna är exakt lika skickliga. Man inser direkt att det är troligast att A vinner spelet. Men hur mycket större är sannolikheten att A vinner än att B vinner?
Problem 2: Antag i stället att spelare B är så mycket skickligare att chansen att vinna är fifty-fifty. Hur mycket skickligare ska då B vara jämfört med A.

Lösning generellt:

Spelet kallas generellt spelarens ruinproblem (och kan handla om kronor i st för kulor). Vi antar att A har sannolikheten p att vinna en omgång. Då har B sannolikheten q = 1-p att vinna. Problemen kan lösas med en Markovmodell med ett antal tillstånd "i" med värdena 0 till a+b (dvs 0 - 55), där i = antal kulor som A har i ett givet ögonblick under spelet. Spelet börjar i tillstånd a, dvs ett tillstånd där A har a kulor (och B har b kulor).  För varje spelomgång ändras tillståndet från i till i+1 med sannolikhet p och från i till i-1 med sannolikhet 1-p. Tillstånd 0 eller a+b (55) är absorberande tillstånd, där B resp. A har vunnit hela spelet. Se figur. 
Beteckningen P betyder sannolikhet (Probability). Vi söker sannolikheten att A så småningom når tillstånd a+b (=55) när denne startat i tillstånd a (=50).  I vårt specifika problem gäller att A startar med 50 kulor och vinner B:s b (=5) kulor och har därmed vunnit spelet. Det vi söker är alltså:

Aa = P(A vinner) = P(tillstånd a+b) kommer att uppnås vid start i tillstånd a

Nedan anger jag lösningen direkt. Den som vill se en härledning kan kolla i en skrift om enkel slumpvandring, Alm2002 (kontrollerat 15-03), sats 4, s 7:

Aa  ((q/p) - 1)/((q/p)a+b - 1)         om p /= 1/2                                        (1)

A
a = a/(a+b)                                     om p =1/2                                            (2)

Vi får då följande lösningar för kulspelsproblemen:

Lösning, problem 1: Insättning av a = 50 och b =5 i (2) ger att A= 50/55 = 10/11. A vinner alltså i 10 fall av 11 när A och B är lika spelskickliga!

Lösning, problem 2: Förutsättningen att A och B ska ha samma chans att vinna innebär att Aa = 0.5. Insättning av detta värde och a =50 och b =5 i (1) ger följande kalkyl med q/p =x:

(x50 - 1) / (x55 - 1) = 0.5   =>  x55 =  2*x50 - 1  =>  x55 ~= 2x50  =>  x5 = 2  =>  x = q/p ~= 1.15

Alltså måste B alltså vara c:a 15 % bättre än A för att ha samma chans att vinna som A.

______________________________________
Länk tillbaka till överordnad sida Åt den som har ska varda givet.
Comments