Förhandling enl. Nash

Produktregeln: maximera produkten nytta(part 1) * nytta(part 2) 

Alltså: "kakan" fördelas så att produkten nytta(part 1) * nytta(part 2) blir så stor som möjligt.

Källor: [Nash1950], [Molander1998], [Molander2014]. Länkar nedan är kontrollerade 15-02-11 eller senare.

Ingångsvärden till förhandling: preferenser eller nyttofunktioner

Spelteorins nyttobegrepp är inte förklarande och handlar inte heller om rätt eller fel utan beskriver endast (besluts-)nyttan eller preferenserna för varje individ för sig utifrån observerbara och motsägelsefria handlingar/beslut.  Man antar normalt att interpersonella jämförelser inte kan göras.

Vi tittar här för enkelhets skull på fallet med två parter. Ett viktigt steg för att hitta en förhandlingslösning är att först ta reda dessa parters preferenser och numeriskt åskådliggöra dem, dvs identifiera s.k. nyttofunktioner. Vi kan kalla dem U1(X) och U2(X). Dessa beskriver alltså hur nyttan/upplevelsen för de båda parterna varierar med tillgången/mängden Xi av vara el tjänst som fördelas. Numeriska värdet av nyttan är inte unikt: värdet U1 kan ersättas med värdet U'= U1 * konstant11 + konstant 21  och motsvarande för U2). Rimligen växer nyttan med tillgången - dock växer nyttan typiskt långsammare ju större tillgången är. Den som har en liten buffert upplever stor nytta även av mindre del av resultatet. Den som redan har en stor buffert upplever alltså mindre nytta av resultatet och en nytta som är mer linjärt beroende av resultatet (se fotnot 1 längst ner på sidan).  

Nedan visas diagram med exempel på nytta för de två parterna. För enkelhets skull mäts här nyttan Ui i andel av teoretiskt maximal nytta då en part "i" får hela resursen, R, som förhandlingsresultat. Om en part skulle få hela  R, så blir dennes nyttovärde 1 (100 %). Om förhandlingen bryter samman blir nyttan noll för båda parter (punkten (0.0)). Denna kalibrering är inte konstigare än att vi valt att kalla vattnets fryspunkt till 0o och kokpunkten till 100o Celsius.
Diagram 1: Ex. på nyttofunktion U1 (för riskobenägen part) och U2 (för riskneutral part). Notation: X^(1/2) betyder "roten ur X.

Anm. :  Som nämnts görs alltså inga nyttojämförelser mellan individer. Nyttofunktionen för en part anger bara hur parten själv värderar hur mycket t ex första tredje-delen av resursen  är värd i förhållande till andra tredjedelen etc för just honom. Det handlar alls inte om t ex hur intensivt part 1 värderar hela (1/1) resursen i förhållande till hur intensivt part 2 värderar hela resursen. Sådana interpersonella jämförelser skulle vara intressanta om man vill införa rättviseargument i förhandlingen, men är enl. [Raiffa1982], s 237, "svåra att formalisera (en del skulle säga omöjligt)". Det är dock uppenbart att den som redan tidigare är resursrik värderar den nya resursen mindre än den resursfattige.

För en teoretiskt litteraturstudie  som behandlar problemet med interpersonella nyttojämförelser, se [Petersson2010].

Möjliga förhandlingslösningar - utfallsområde

Mängden möjliga lösningar, dvs utfallsområdet (där upp till hela resultatet fördelas) kan visas i koordinatsystem med axlar U1 och U2. Vi antar nu att hela resursen R fördelas så att part 1 får andel X och part 2 får andelen 1 - X. Enl valda nyttofunktioner ovan gäller då att part 1 får nyttan U1 = X^(1/2) (vilket innebär att X = U1^2) och part 2 får nyttovärdet:

 U2 = funktion(U1) = 1 - X = 1 - U1^2.

Denna funktion utgör begränsningskurvan för mängden möjliga lösningar, dvs för nyttoområdet enl. diagram 2 nedan.

Diagram 2: Tillgängligt nyttoutfallsområde för exempel enl. diagram 1 där parter delar på resurs X

Förutsättningar och krav för rimlig lösning enl. Nash

John Nash (som fick nobelpris i ekonomi 1994) visade i [Nash1950] en rimlig lösning. Den bygger på följande (idealiserade) förutsättningar och krav. De två första kraven är allmänna förutsättningar på en förhandling som handlar om rationalitet, öppenhet, icke-bluffande och icke-hot om våld:
  • Individuell rationalitet. Båda parter är rationella i klassisk mening, dvs strävar efter att maximera sin egen nytta och har förmåga bedöma sin nyttofunktion, Ui. De är dessutom medvetna om andra partens nyttofunktion. Båda är alltså medvetna, öppna och ärliga om sina nyttofunktioner.
  • Förhandlad lösning erkänns av båda parter utan hot om våld. Detta är rimligt om man tänkt sig fortsatt samarbete.
Dessutom ställer Nash dessa fyra axiomatiska krav på en förhandlingslösning:
  1. Paretoeffektivitet. Om en lösning ger större nytta för en part utan att inskränka på nyttan för andra parten så väljs den lösningen (dvs lösning ligger på begränsningskurvan för utfallsområdet, se diagram 2). Mycket rimligt - innebär ju att hela resultatet R fördelas - inget går till spillo. Om förhandlingen trots allt bryter samman (= status quo)  får dock ingen part någon utdelning, dvs X1 = X2 = 0.
  2. Symmetri. Om nyttoutfallsområde är symmetriskt, dvs nyttofunktionerna är identiska, så får båda parter samma utfall.
  3. Oberoende av irrelevanta alternativ. Lösningen ska inte förändras om analysen inskränks till alternativ som parterna anser realistiska. 
    Anm: Detta krav är en smart ingrediens i Nashs lösning. Det är inte teoretiskt självklart men troligen helt ok i praktiken.
    [Raiffa1982], s 245, nämner exemplet restaurangbesök där en person väljer brässerad biff bland en mängd alternativ. Hen frågar sen personalen vad asterisken bredvid några av alternativen betyder. Han får veta att det betyder alternativ som inte erbjuds idag. Brässerad biff har dock ingen asterisk. Skulle hen då ändra sig och vilja välja ett annat av de tillgängliga alternativen?
  4. Oberoende av nyttorepresentation. Lösningen ska inte bero på med vilken skala parternas nytta mäts. Det lönar sig alltså inte för en part att påstå att hans önskemål är mycket intensivare än den andres. Dock väljs vid sammanbrott nyttovärden (U1, U2) = (0, 0). En transformation U'i = k*Ui (med k positivt) förändrar alltså inte resultatet.

Unik förhandlingslösning enl Nash

Den unika lösning som kan visas bli resultat från ovanstående krav är:

Nashs fördelningsregel: Lösningen är den som gör produkten av de båda parternas nyttor så stor som möjligt, dvs värdena X1 och X2 är sådana att
            U1(X1)*U2(X2) är maximerat 
Detta innebär att ytan av rektangel med sidor Uoch Umaximeras.
Diagram 3: Nash-lösningen för exempel enl. diagram 2 gör indikerad rektangels yta så stor som möjligt.

Det ska sägas att efter Nashs lösning 1950 så har andra gjort förfinade modeller. Enl [Molander2014] står sig dock Nashs lösning bra fortfarande. I [Raiffa1982], kap. 16, finns tydliga resonemang och figurer, som förklarar Nashs lösning och jämför med andra lösningar.

Grafiskt "bevis": Se exemplet Dela ett bröd där Nashs lösning troliggörs matematiskt med hj av diagram  i Google Kalkylark.

Budgivningsprocess

Om man trots allt inte accepterar den axiomatiska analysen enl. ovan, kan man i stället beskriva en rimlig strategisk budgivningsprocess. Beskrivningen måste förenklas för att vara hanterbar men kan ändå fånga det väsentliga i en förhandling. Här två ansatser att modellera förhandlingsprocesser, som i princip kan visas ge samma resultat som Nashs produktregel enl. ovan:
  • Låt  beredskap att riskera sammanbrott ha betydelse. 
    Process: Parterna lämnar var sitt initialt bud. Viljan att riskera att förhandlingen bryter samman, dvs att inte närma sig motpartens bud, antas vara proportionell mot relativa förlusten om parten i st skulle godta motpartens bud (relativ förlust = nyttoavdrag (om motpartens bud godtas) dividerat med eget buds nytta. Den part som gör minsta relativa förlusten förutsätts göra en eftergift. Budgivningen upprepas enl. samma principer tills bud godtas.
    Det går att visa att den som gör eftergiften är den vars bud innebar minsta nyttoprodukten (Nash-produkten). Efter ett antal steg landar förhandlingsprocessen när Nash-produkten har nått sitt maximum. Se wiki/Zeuthen strategy.

  • Låt tiden ha betydelse.
    En resurs är ju oftast mer värd att få idag jämfört med i morgon.  Man låter t ex brödet krympa i takt med tiden. Process:  En part ger ett första bud, som om det snabbt accepteras hindrar kakan att krympa. Om det förkastas kommer motparten med nytt bud, som i sin tur kan accepteras eller förkastas. Om första parten gav ett för båda rationellt bud kommer den andre omedelbart att acceptera. 
    Den som, av något skäl, är mest otålig få minsta biten. Om man inte kommer överens får ingen part något.
--------------------------------------------------------------------------------
Fotnot 1: Nyttokurvans utseende beroende av hur rik en part är, kan åskådliggöras i asymmetriska S-kurvan enl. Kahneman (beteendeekonomi-till-vardags/tumregler-och-tankefel/prospektteorin). Den aktuella effekten kallas där "avtagande känslighet för förändring vid ökande vinst" (Bernoulli föreslog för övrigt redan 1738 en logaritmisk nyttokurva; se beteendeekonomi-till-vardags/logisk-rationalitet). Se figur nedan där nyttokurvor anges inom rektanglar. Den rike (dvs den som redan har 200:-) får en flackare, nästan linjär, nyttokurva jämfört med den som är fattig (äger 0:- före förhandlingen). 

Figur: Nyttokurvor (inom rektanglar) för "rik" resp. "fattig" inlagda i Kahnemans asymmetriska s-kurva

_________________________________________
Länk tillbaka till överordnad sida Spelteori som analysverktyg.
Underordnade sidor (1): Ex: Dela ett bröd
Comments