Källa: [Molander1992]: The prevailence of free riding, som beskriver en formell matematisk modell för "n-person prisoner's dilemma". Ganska svårtillgänglig uppsats.

Nedan visas grovt hur det är möjligt att få en allmänning att fungera på ett balanserat sätt. Utgående från [Molander1992] visas huvudprinciper och förutsättningar för analysen och en figur, som åskådliggör att det är rimligt att långsiktigt stabil jämvikt kan uppnås med en mix av samarbetare och icke-samarbetare (avhoppare).

Antaganden om vinster. Figuren nedan sammanfattar antagande om vinster för samarbetare resp. avhoppare, beroende på antal (andra) samarbetare "i". Som synes ökar individuella vinsten monotont med fler samarbetare. Det är individuellt rationellt att hoppa av eftersom avhopparvinsten är större än samarbetarvinsten (d_i > c_i). Med minst m samarbetare gäller att samarbetsvinst blir större än avhopparvinst om alla hoppar av (c_m > d₀). Totala vinsten ökar om fler samarbetar.

Figur 1: Vinst för samarbetare resp avhoppare som funktion av antal samarbetare

Andra viktiga antaganden

• Samarbete är fokuspunkt (se avsnitt Konventioner i Ex. på spel och strategier). Detta innebär att det förutsätts en norm att inte hoppa av (utan signifikant "anledning").
• Störningar (missförstådd perception eller felaktigt strategigenomförande) kan dock göra att ett antal hoppar av
• Medelfrekvensen av avhoppare blir känd av alla spelare men inte vilka som hoppar av

Varje individ bär en strategi, Si, som innebär att hen samarbetar om minst "i" andra individer samarbetar (inom grupp om n spelare). Individen använder sin aktuella strategi för en upprepad version av spelet och får sin vinst när spelet konvergerat. Vinsten för varje strategi blir indata till en evolutionär nivå (för totala populationen), varvid strategier som lyckas bäst förökar sig, dvs får större andel individer som bärare (enl. differentialekvationer, typ wiki/replicator equation, där vi låter strategitillväxt vara proportionell mot strategifrekvens och relativ vinst).

För att förenklat illustrera hur en jämvikt kan uppstå antages här att det finns en fördelningsfunktion:

F(i) = antal spelare som är villiga samarbeta om minst "i" andra samarbetar

F kan inte antas vara närmare känd mer än att den är växande. Jämvikt mellan samarbete och icke-samarbete fås när aktuella antalet samarbetare sammanfaller med antalet samarbetare, som krävs av dessa spelare för att de ska välja just samarbete. Möjliga jämvikter ges av skärningspunkter mellan funktion y = F(i) och räta linjen y = i. Figur nedan visar hur detta i princip skulle kunna se ut. Motivering för kurvan F: med uppgift om litet antal samarbetare, i, så är väldigt få villiga att samarbeta. Kring en tröskel relaterad till punkt 2 börjar många bli villiga att samarbeta. Efter punkt 3 där antalet samarbetare närmar sig 100 % har en mättnad inträffat. Just punkt 3 är ett tillstånd med stabil jämvikt. Om störning för tillståndet till 3A eller 3B kommer det att sträva mot att återgå till punkt 3.

Figur 2: Jämvikt i allmänningens dilemma. Möjliga jämviktspunkter för en hypotetisk funktion F(i), där F = antal villiga samarbetare om "i" andra samarbetare finns. Punkt 3 har stabil jämvikt.

Anm: I [Molander1994] kallas jämvikten, när "i" individer samarbetar och n - i- 1 personer utnyttjar systemet utan att bidra för sjaskig. Speciellt effektiv är en sjaskig jämvikt, där punkten 3 ligger så långt åt vänster som är möjligt men som ändå leder till större vinst än rent icke-samarbetstillstånd, punkt 1.

_______________________________________