Nash beskrev sin förhandlingslösning i [Nash1950]. Nedan förklaras hans lösning med hjälp av ett enkelt exempel. Observera att det ökar förståelsen om man läser avsnittet Förhandling enl. Nash först.

Problemställning

Hur kommer ett bröd (se anm. 1) att bli uppdelat mellan part 1 och part 2 under förutsättningar enl. nedan?

• Förutsättningar och krav, som är angivna i Förhandling enl. Nash
• X = andel av bröd; andelen ligger mellan 0 och 1
• Den svagare (utsvultne etc) parten har en nyttofunktion U₁ = roten ur X = X^(1/2)
• Den starkare (mätte etc) parten har en nyttofunktion U₂ = X

Anm. 1: Se exemplet "bröd" som i första hand symboliskt. Det kan i verkligheten vara alla möjliga typer av förhandlingssituationer, där parterna är individer eller (koordinerade) grupper, som gemensamt åstadkommit en nyttighet och som man försöker fördela mellan sig: bonde - drängar, företagsledare - löntagare etc. Eg. behöver nyttigheten inte vara konkret. Den kan vara abstrakt. Det kan handla om t ex maktposition.

Matematiskt lösning

Nedan följer beräkningar enl. Nashs metod med hjälp av Google Sheets diagram. Först visar vi förutsatta nyttofunktioner grafiskt i diagram 1. Observera att part 1, den "utsvultne", i vårt exempel upplever mer än 50% av sin totala nytta redan om hen får första tredjedelen av brödet. Part 2, den "rike", upplever en nytta som är proportionell mot brödmängden. Part 1 kan sägas vara riskobenägen (dvs vill inte gärna riskera ett sammanbrott i förhandlingen), medan part 2 är riskneutral.

Diagram 1: Exemplet Dela ett bröd. Förutsatta nyttofunktioner för part 1 och part 2.

I vårt exempel ska parterna dela på ett tillgängligt bröd. Vi antar då att part 1 får X av brödet och att part 2 får resten, dvs 1-X av brödet. Nyttokurvan för part 1, U₁ = X^(1/2, innebär att X = U₁^2. Tillgängliga utfall (nyttoområde (U₁,U₂)) begränsas av kurvan U₂ = funktion(U₁) = 1 - X = 1 - (U₁)^2. Detta visas grafiskt i diagram 2.

Diagram 2: Tillgängligt nyttoutfallsområde för parterna. Koordinat (0,0) = sammanbrottsutfall. Paretoeffektivt utfall ligger på begränsningskurvan.

Enl. Nash får vi en lämplig förhandlingslösning om vi låter produkten av nyttorna maximeras. Produkten är maximerad när dess derivata är noll. Med vanliga deriveringsregler får vi:

• P = U₁*U₂ = X^(1/2)*(1-X)
• dP/dX = (1/2)*X^(-1/2) -(3/2)*X^(1/2) = (1/2)*X^(-1/2) * (1 -3X)
• dP/dX = 0 för X = 1/3 =0.33

Produkten av nyttorna är alltså maximal för X = 1/3. Vi har nu svaret på problemställningen:

Resultat

Den "utsvultne" får 1/3 av brödet och den "mätte" 2/3 av brödet.

Anm: Observera att detta är den lösning som erhålls när parterna frivilligt och med öppna kort följer de axiomatiska krav som listas i Förhandling enl. Nash. Krav, som ju granskade var för sig, syntes ganska rimliga. Men: en utomstående med insyn i situationen skulle troligen vilja modifiera resultatet utifrån de rättviseargument som hen föredrar att lyfta fram: Vem ägde jorden? Vem sådde vetet? Vem bakade brödet? Vem var hungrigast? Vem hade barn som också var hungriga? Eller: resultatet av förhandlingen är de inblandades ensak.

Grafisk "bevis" av Nashs metod

Jag försöker nu i diagram 3 åskådliggöra Nashs metod med hjälp av Google Sheets diagram. Både produktkurvan, U₁ * U₁, och nyttokurvorna U₁ = X^(1/2) och U₂ = 1 - X är inlagda i samma figur. X-axeln anger vilken andel part 1 får. Eftersom part 2 får andelen 1 - X är dennes nyttokurva omvänd.

Diagram 3: Nyttokurvor, U₁ och U₂, och nyttoproduktkurva, P = U₁ * U₂ (tjockare grå kurva).

Med X = 0.33 får vi nyttovärdena U₁ = X^(1/2) = 0.33^(1/2) = 0.57 och U₂ = 1 - X = 0.67.

Reflektion: Jag skulle kunna tycka att X-värdet där nyttokurvorna korsar varandra borde vara en "bättre" lösning (i alla fall i detta exempel). Då skulle ju båda parter få lika stor andel av sina maximala nyttovärden, vilket verkar vara vid X ~= 0.38 (alltså vid U = 1 - X =0.62). Då delar man i alla fall i en viss mening exakt lika - var och en får 62 % av sin resp. maximala nytta. Skillnaden jämfört med Nashs lösning är dock i exemplet inte så stor.

Vi kan nu markera i diagram 4 var i nyttoområdet, som Nashs lösning enl. produktformeln ligger:

Diagram 4: Nyttoområde och Nashlösning för de två parterna: nyttor = (0.57, 0.67).

Till sist vill vi kolla att lösningen verkar vara korrekt genom att vi kalibrerar om nyttokurvan så att Nashlösningen ligger i (1, 1). Detta förändrar enl. förutsättningar inte lösningen. Vi dividerar alltså U₁-axelns mätetal med 0.57 och U₂-axelns mätetal med 0.67. Vi lägger också in en tangent i lösningspunkten. Grafiskt ser det då ut så här:

Diagram 5: "Realistiskt" resp. utökat nyttoområde (omkalibrerat)

Vi ser nu att tangenten avgränsar ett utökat nyttoområdet med samma Nashlösning som området begränsat av ursprungliga kurvan och att lösningen är en symmetripunkt i det utökade området. Vi accepterar denna lösning (1,1) i utökade nyttoområdet av symmetriskäl och inser att (1,1) ger största produktnyttan. Enl. Nashs krav "oberoende av irrelevanta alternativ" accepterar vi dessutom samma lösning i det gamla, "realistiska" nyttoområdet. Vi får alltså här en bekräftelse på att Nashs produktregel ger ett resultat som stämmer med Nashs krav.

______________________________________